线性代数示例

$- 2 x_{1} - 6 x_{2} - 3 x_{3} = 9$ $- x_{1} + x_{2} - x_{3} = 1$ $x_{1} - x_{2} + 2 x_{3} = 2$

解题步骤 1

把方程组写成矩阵。

$[\begin{array}{c} - 2 & - 6 & - 3 & 9 \\ - 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 & 2 \end{array}]$

解题步骤 2

求行简化阶梯形矩阵。

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解题步骤 2.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{2}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 2.1.1

将 $R_{1}$ 的每个元素乘以 $- \frac{1}{2}$ ，使 $1, 1$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{2} \cdot - 2 & - \frac{1}{2} \cdot - 6 & - \frac{1}{2} \cdot - 3 & - \frac{1}{2} \cdot 9 \\ - 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 & 2 \end{array}]$

解题步骤 2.1.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ - 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 2 & 2 \end{array}]$

解题步骤 2.2

执行行操作 $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.2.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} + R_{1}$ 使 $2, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ - 1 + 1 \cdot 1 & 1 + 1 \cdot 3 & - 1 + \frac{3}{2} & 1 - \frac{9}{2} \\ 1 & - 1 & 2 & 2 \end{array}]$

解题步骤 2.2.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ 0 & 4 & \frac{1}{2} & - \frac{7}{2} \\ 1 & - 1 & 2 & 2 \end{array}]$

解题步骤 2.3

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.3.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} - R_{1}$ 使 $3, 1$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ 0 & 4 & \frac{1}{2} & - \frac{7}{2} \\ 1 - 1 & - 1 - 3 & 2 - \frac{3}{2} & 2 + \frac{9}{2} \end{array}]$

解题步骤 2.3.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ 0 & 4 & \frac{1}{2} & - \frac{7}{2} \\ 0 & - 4 & \frac{1}{2} & \frac{13}{2} \end{array}]$

解题步骤 2.4

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{4}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $R_{2}$ 的每个元素乘以 $\frac{1}{4}$ ，使 $2, 2$ 的项为 $1$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ \frac{0}{4} & \frac{4}{4} & \frac{\frac{1}{2}}{4} & \frac{- \frac{7}{2}}{4} \\ 0 & - 4 & \frac{1}{2} & \frac{13}{2} \end{array}]$

解题步骤 2.4.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & - \frac{7}{8} \\ 0 & - 4 & \frac{1}{2} & \frac{13}{2} \end{array}]$

解题步骤 2.5

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 4 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.5.1

执行行操作 $R_{3} = R_{3} + 4 R_{2}$ 使 $3, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & - \frac{7}{8} \\ 0 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & \frac{1}{2} + 4 (\frac{1}{8}) & \frac{13}{2} + 4 (- \frac{7}{8}) \end{array}]$

解题步骤 2.5.2

化简 $R_{3}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{8} & - \frac{7}{8} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

解题步骤 2.6

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{8} R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.6.1

执行行操作 $R_{2} = R_{2} - \frac{1}{8} R_{3}$ 使 $2, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ 0 - \frac{1}{8} \cdot 0 & 1 - \frac{1}{8} \cdot 0 & \frac{1}{8} - \frac{1}{8} \cdot 1 & - \frac{7}{8} - \frac{1}{8} \cdot 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

解题步骤 2.6.2

化简 $R_{2}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & \frac{3}{2} & - \frac{9}{2} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

解题步骤 2.7

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.7.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - \frac{3}{2} R_{3}$ 使 $1, 3$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3}{2} \cdot 0 & 3 - \frac{3}{2} \cdot 0 & \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot 1 & - \frac{9}{2} - \frac{3}{2} \cdot 3 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

解题步骤 2.7.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 3 & 0 & - 9 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

解题步骤 2.8

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

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解题步骤 2.8.1

执行行操作 $R_{1} = R_{1} - 3 R_{2}$ 使 $1, 2$ 处的项为 $0$ 。

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 & - 9 - 3 (- \frac{5}{4}) \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

解题步骤 2.8.2

化简 $R_{1}$ 。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{21}{4} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{4} \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}]$

解题步骤 3

使用结果矩阵定义方程组的最终解。

$x_{1} = - \frac{21}{4}$

$x_{2} = - \frac{5}{4}$

$x_{3} = 3$

解题步骤 4

解为使方程组成立的有序对集合。

$(- \frac{21}{4}, - \frac{5}{4}, 3)$

线性代数 示例

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